Interacción gravitatoria
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SUMARIO. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
Leyes de Kepler
. T2 = k·R3, siendo k una constante de proporcionalidad.
Los planetas describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el Sol.
El vector de posición de cualquier planeta con respecto al Sol barre áreas iguales de elipse en tiempos iguales (ley de las áreas).
Los cuadrados de los períodos de revolución son proporcionales a los cubos de las distancias promedio de los planetas al Sol
Ley de la Gravitación Universal: F = Gm1m2/R2
Energía potencial gravitatoria: 
Velocidad de escape: 
Energía de enlace: 
Velocidad de enlace: 
Campo gravitatorio: 
Potencial gravitatorio:
V = Ep/m = - GM/r.G = 6,67
×10-11 N×m2×kg-2M
T = 6,0·1024 kgR
T = 6,4·106 m
PROBLEMAS
1. Un barco de 2.10
4 T está anclado a 50 m (centro a centro) de un barco de 4. 10 4 T ¿Cuál es el valor de la fuerza gravitatoria entre ellos?
2. Si se abandonase un cuerpo desde una nave espacial a una distancia de 1,92 10
5 km del centro de la Tierra (mitad de la distancia a la Luna) ¿Con qué aceleración caería hacia la Tierra?
3. A una altura de 6 370 km por encima de la superficie de la Tierra (altura igual al radio terrestre) ¿cuál sería la aceleración de caída de un cuerpo?
4. ¿Cuál sería la velocidad de un satélite que describe una órbita circular a una altura por encima de la superficie de la Tierra igual a 1 600 km?
5. Si la Tierra tuviese un satélite artificial con una órbita de 192 275 km de radio ¿Cuál sería su periodo de revolución alrededor de la Tierra?
Por otro lado, si se mueve en una órbita circular de radio r, recorre una circunferencia 2
pr en un periodo T, luego:
6. ¿Cuál sería el radio de la órbita de un satélite de Marte con un periodo de 20 h?
Si el periodo es de 20 h (72 000 s), de acuerdo con el problema anterior, de:
Despejando r:
7. ¿Cuál es la velocidad areolar en m
2s-1 barrida por: a) el radio vector trazado del Sol a la Tierra; b) el radio vector trazado desde la Tierra a la Luna.Datos: T(Tierra) = 3,15
×107 s; T(Luna) = 1,92×1011 s;d(Tierra-Sol) = 1,49
×1011 m; d(Tierra-Luna) = 3,8×108 m.La velocidad areolar se calcula dividiendo el área barrida por el radio vector entre el tiempo empleado en barrerla. Supuestas órbitas circulares:
a) Velocidad areolar del radio vector Sol-Tierra:
siendo S
ST el área barrida.b) Velocidad areolar del radio vector Tierra-Luna:
siendo analogamente S
TL el área barrida.
8. La distancia media de Júpiter al Sol es 5,22 veces la de la Tierra al Sol. ¿Cuál es el período de revolución de Júpiter?
Por la tercera ley de Kepler:
de donde el período de Júpiter es:
9. El radio de la órbita de la Luna es 60 veces mayor que el radio de la Tierra. ¿Qué relación existe entre la aceleración de un cuerpo en caída libre en la Tierra y la aceleración de la Luna hacia la Tierra?
Según la Ley de Gravitación, las aceleraciones varían inversamente al cuadrado de la distancia, luego:
10. El planeta Marte tiene un satélite, Phobos, que recorre una órbita de radio 9,4
×106 m con un periodo de 7 horas 39 minutos. Calcular la masa de Marte.La fuerza que Marte ejerce sobre el satélite es:
de donde la masa M de Marte es:
11. Se quiere poner en órbita un proyectil desde una montaña de 2000 m de altura. Si no hay rozamiento del aire, ¿cuál debe ser su velocidad horizontal.
Para que el satélite se mantenga en órbita:
de donde la velocidad necesaria para ponerlo es:
12. Desde un lugar situado a una distancia del centro de la Tierra igual a las 5/4 partes del radio terrestre, se desea poner en órbita un satélite terrestre; ¿qué velocidad inicial hay que comunicarle? ¿Cuál será su período? ¿Cuál será el valor de la aceleración de la gravedad en su interior respecto a la Tierra?
Para que el satélite describa una órbita circular de radio 5/4 R
T debe estar sometido a una fuerza perpendicular a la trayectoria igual a:
Esta fuerza es, por otra parte, la de atracción gravitatoria de la Tierra sobre el satélite e igual a:
Igualando ambos valores de F:
de donde la velocidad inicial viene dada por:
El período de revolución será igual a:
La aceleración en el interior del satélite:
si se toma respecto de la Tierra. En el interior del satélite respecto del propio satélite la aceleración es nula.
13. ¿Puede mandarse un satélite a una distancia desde donde pueda girar alrededor de la Tierra con velocidad angular igual a la de giro de la Tierra, de tal manera que se mantenga siempre sobre el mismo punto de la Tierra? ¿Cuál es el radio de dicha órbita?
a) Si, se puede hacer si el plano de la órbita es ecuatorial.
b) Como:
El radio de la órbita es:
14 ¿Qué trabajo sería necesario para levantar una masa de 10
4 kg desde la superficie de la Tierra hasta una altura por encima de ella igual a la longitud de su radio?El trabajo será:
Otra forma de calcular el trabajo realizado será calculando la energía potencial que tendrá esa masa de 10
14 kg a una distancia RT de la Tierra.
15. ¿Qué trabajo sería necesario para trasladar una masa de un gramo desde la superficie de la Tierra hasta el infinito? . Si se asigna el valor cero a la energía potencial en el infinito ¿cuál es la energía potencial de la masa de 2 kg cuando se halla sobre la superficie terrestre?
El trabajo será:
Otra forma es, como en el problema anterior:
Si asignamos el valor cero a la energía potencial en el infinito, la energía potencial de una masa de 2 kg en la superficie de la Tierra es:
16. Una masa puntual de 2 kg está sobre el eje X en el punto x = 4 cm y otra masa igual en el x = – 4 cm. ¿Cuál es la intensidad y el potencial del campo gravitatorio en el punto x=0?
El potencial en el punto 0 es la suma del potencial creado en dicho punto por las dos masas de 2 kg. Es decir:
La intensidad del campo gravitatorio en dicho punto es cero por ser la suma de dos vectores de igual módulo, dirección y sentido contrario.
17. ¿A qué altura sobre la superficie terrestre la intensidad del campo gravitatorio terrestre disminuye en un 0,1% de su valor respecto del que tiene en la superficie? RT = 6 180 km.
La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra es, en módulo:
y a una distancia r de su centro:
de donde:
pero, al ser: g’ = 0,999 g
de donde:
y la altura h sobre la superficie terrestre:
18. ¿Qué velocidad debe comunicarse a un cuerpo para que se eleve a una altura de 1 500 km sobre la superficie terrestre? Radio medio de la Tierra: 6 180 km.
La diferencia de energía potencial del cuerpo de masa m cuando está en la superficie de la Tierra y a una distancia R de su centro es:
Este aumento de energía potencial es debido a la energía cinética que se le da al cuerpo en la superficie de la Tierra. Es decir:
Despejando el valor de v y teniendo en cuenta que: 
, se
obtiene:
19. ¿En qué punto de la línea que une la Tierra a la Luna es nulo el campo gravitatorio debido a ambos cuerpos? Tómese como distancia Tierra-Luna 3,84·10 km y considérese que la masa de la Luna es 0,0123 veces la de la Tierra.
Llamando x a la distancia desde el centro de la Tierra al punto considerado, y d a la distancia Tierra-Luna se cumple:
pero 
. Sustituyendo llegamos a la ecuación:
que resuelta nos da para x el valor:
ya que el otro valor que se obtiene 4,34·10
8 m, lo desechamos por referirse a un punto fuera del segmento Tierra-Luna.
20. Tres cuerpos de masas iguales se encuentran situados en los vértices de un triángulo equilátero de lado L. Calcular: a) La fuerza que cada dos masas ejercen sobre la tercera. b) La velocidad a la que debería girar el sistema alrededor de su centro para que las distancias permanezcan fijas.
a) Sobre la masa 3 se ejerce la fuerza F resultante de las F
1 y F2.
b) Si el sistema gira en torno a 0 de forma que las
distancias permanezcan invariables, cada una de las masas tiene un radio r
igual a:
y una aceleración centrípeta:
Según esto, la fuerza que produce el giro de cada una de las masas es:
y, como por otra parte:
Igualando los dos valores de F obtenemos: 
21. ¿Cuál sería la velocidad de escape de un planeta cuyo radio fuera 500 km y cuya gravedad fuese de 3,0 ms
-2? ¿Qué altura alcanzaría una partícula si abandonase la superficie del planeta con una velocidad de 1000 ms-1?La velocidad de escape del planeta es:
donde hemos hecho la sustitución de 
Por otra parte, como –
DEP = DEC es:
22. Obtener la energía de enlace de: a) Un hombre de 80 kg en la Tierra. b) De la Luna respecto de la Tierra.
a) La energia de enlace del hombre de masa m y la Tierra es:
b) La energía de enlace Tierra-Luna:
23. La velocidad de escape desde la superficie terrestre es 11,2 km/s a) ¿Cuál sería la velocidad de escape si se duplicase la masa de la Tierra permaneciendo invariable su tamaño? b) ¿Cuál sería la velocidad de escape si se duplicase el radio de la Tierra, permaneciendo constante su masa?
a) Si se duplicara la masa de la Tierra, permaneciendo invariable su tamaño:
b) Si se duplicara el radio de la Tierra, permaneciendo constante su masa:
24. ¿Cuál es la velocidad de escape desde la superficie del planeta X, cuya masa es 16 veces la de la Tierra y cuyo diámetro es 9 veces el terrestre?
25. La masa de Marte es 0,108 veces la de la Tierra y su radio es 0,532 veces el de ella. ¿Cuál es la velocidad de escape desde Marte?
CUESTIONES
C.1. Hemos visto que la fuerza de la gravedad es una fuerza conservativa. ¿Por qué entonces nos resulta más fácil subir una montaña por un camino de pendiente suave que por otro empinado? Razona la respuesta.
Al ser la fuerza de la gravedad una fuerza conservativa, el trabajo realizado para subir la montaña sólo depende de la posición inicial y final. Como el trabajo es igual al producto de la fuerza en la dirección del desplazamiento por el desplazamiento, si a la montaña se sube por una pendiente suave, al ser mayor el desplazamiento la fuerza que hay que realizar es más pequeña.
C.2. ¿Aumenta o disminuye la energía potencial gravitatoria cuando nos movemos hacia la Tierra? Razónalo.
Al movernos hacia la superficie de la Tierra, la energía potencial disminuye al disminuir la altura.
al disminuir r aumenta negativamente la expresión, por lo que la energía potencial disminuye.
C.3. La Tierra dispone ahora de satélite de comunicaciones para retransmitir señales de radio y televisión de un continente a otro. Estos satélites, vistos desde la Tierra, parecen estar suspendidos, casi inmóviles, el firmamento sobre la vertical de un cierto punto del Ecuador. a) ¿Cuál es su periodo de revolución alrededor del centro de la Tierra? b) ¿Cuál es el radio aproximado de su órbita? c) ¿ A qué distancia están de la superficie terrestre?
a) El mismo que el de la Tierra, por eso parecen inmóviles en el firmamento.
b) El radio aproximado de su órbita ha de ser tal que la atracción gravitatoria sea igual a la fuerza centrípeta:
G = 6,6·10-11 N·m2/kg y MT la masa de la Tierra.
c) La distancia a la superficie de la Tierra será: r - RT,, siendo RT el radio terrestre.
C.4. Si te subieras a una escalera tan alta que te llevara a una distancia del centro de la Tierra dos veces mayor que la distancia a la que te encuentras ahora ¿Cuál sería tu peso comparado con el actual?
Si la distancia a la que nos encontramos fuera 2RT, el peso sería:
C.5. ¿En qué factor alteraría se alteraría tu peso si el tamaño y la masa de la Tierra se duplicasen
Si el tamaño y la masa de la Tierra se duplicaran, nuestro peso sería:
es decir, sería la mitad.
C.6. ¿En qué caso se requiere una mayor cantidad de combustible: cuándo un cohete viaja a la Luna o cuando vuelve de la Luna a la Tierra?
Cuando viaja de la Tierra a la Luna, el cohete tiene que vencer la atracción de la Tierra ayudado por la atracción de la Luna, y a la vuelta, tiene que vencer la atracción de la Luna ayudado por la atracción de la Tierra, luego tendrá que utilizar menor combustible a la vuelta.
C.7. Si la Luna estuviera dos veces más alejada de la Tierra, conservando una órbita circular alrededor de ésta ¿Qué distancia "caería cada segundo?.
La aceleración de la luna en su órbita es
y la distancia que cae en su órbita: 
y en la órbita más alejada:
en cada segundo caería 1/4 de la distancia que cae actualmente
C.8. Un científico propone el siguiente sistema para lanzar cuerpos al espacio. Hace un túnel que atraviese la Tierra de lado a lado. El científico piensa que dejando caer la sonda por el túnel acelerará a lo largo del recorrido hasta salir por el otro lado el proyectil. Defiende o refuta el razonamiento del científico
Al caer por el tunel la sonda se iría acelerando hasta llegar al centro de la Tierra, pero una vez pasado el centro, la sonda sufriría una aceleración negativa, parándose al llegar al otro extremo del túnel y volviéndo a sentirse atraido hacia el centro de la Tierra. El movimiento resultante sería un movimiento armónico, por lo que no nos serviría para lanzar un cuerpo al espacio.
C.9. Un satélite puede entrar en órbita a una altura de 5 km sobre la Luna, pero no podría hacerlo a 5 km sobre la Tierra. ¿Por qué?
Si un satélite entra en órbita a una altura de 5 km sobre la Luna es porque a esa altura su velocidad es tal que la fuerza centrípeta y la atracción de la Luna se equilibran. Como la atracción de la Tierra es mayor que la de la Luna, necesitará moverse a mayor velocidad para que a esos 5 km la fuerza centrípeta y la atracción de la Tierra se equilibren.
C.10. ¿Cómo podría un astronauta que se encuentra en órbita a bordo de un transbordador espacial dejar caer algo a la Tierra?
Tendría que reducir la velocidad del objeto en su órbita.