Trabajo y energía
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SUMARIO. REPASO: Trabajo y Energía
Trabajo de una fuerza constante es el número que se obtiene multiplicando el módulo de la fuerza por el desplazamiento en su dirección: W = F·s.
Su ecuación de dimensiones es: [W] = M·L2·T-2 y su unidad en el SI es el Julio: 1 J = 1 kg·m2·s-2.
Si la fuerza es variable:
En general:
Potencia:
Energía cinética:
Trabajo y energía cinética:
Trabajo y energía potencial:
Una fuerza es conservativa cuando el trabajo realizado por ésta no depende de la trayectoria seguida y sólo de los puntos inicial y final. Otra condición equivalente es decir que el trabajo de la fuerza en una trayectoria cerrada es cero.
• Para una fuerza conservativa se define la variación de la energía potencial EP a partir de la expresión:
• La energía potencial gravitatoria cerca de la superficie de la Tierra es EP = mgh, siendo h la altura desde el suelo.
• La energía potencial elástica es:
• Si existen fuerzas conservativas y no conservativas (fnc):
• Si no hay fuerzas no conservativas:
Energía cinética de un sistema de partículas:
siendo EC la suma de la energía cinética de cada partícula.
es la
energía cinética del sistema de partículas con respecto al centro de
masas.
Energía cinética y trabajo de rotación:
Si el sistema de partículas es un sólido rígido, el trabajo de rotación es:
y la energía cinética:
Si el sólido rueda su energía cinética es la suma de la energía cinética de translación más la de rotación:
Choques y colisiones elásticas:
Se conservan la cantidad de movimiento y la energía cinética. Resolviendo el sistema, las velocidades después del choque son:
PROBLEMAS
1. Una fuerza de 10 N actúa sobre un cuerpo de 2 kg que se encuentra en reposo, haciéndole recorrer 5 m a lo largo de una superficie horizontal sin rozamiento. ¿Cuál es la energia cinética final del cuerpo? ¿Cuánto vale el incremento de la energía cinética? ¿ Y el trabajo desarrollado?
El trabajo W y la variación de energía cinética DEC están relacionados por la expresión:
W = DEC = ECf – ECi.
donde ECf y ECi son las energias cinéticas final e inicial, respectivamente.
a) Como ECi = 0, ya que el cuerpo parte del reposo:
DEC = 50 J = ECf
b) Como W = DEC Þ DT = 50 J.
c) El trabajo es: W = F×s = 10×5 = 50 J.
2. Sea un cuerpo de masa 3 kg cuyo vector de posición viene dado en función del tiempo
Hallar, para el instante t = 5: a) La aceleración. b) La cantidad de movimiento. c) El trabajo desarrollado en el segundo anterior.
a) Las componentes de la velocidad son:
y las de la aceleración:
b) La cantidad de movimiento para t = 5 s es:
c) Entre t = 4 s y t = 5 s, el trabajo desarrollado es igual a la variación de energia cinética. Es decir:
3. Un cuerpo de 10 kg descansa sobre una superficie horizontal. Si el coeficiente de rozamiento dinámico entre el cuerpo y la superficie es de 0,2, ¿qué fuerza horizontal hay que aplicar para desplazar el cuerpo 5 m a velocidad constante? ¿Qué trabajo se realiza?
Para desplazar el cuerpo con velocidad constante, habrá que aplicarle una fuerza igual y de sentido contrario a la de rozamiento que es:
y el trabajo que se realiza para vencerla: Wr = 19,6×5 = 98 J.
Si en el problerna anterior se aplica una fuerza que le produce al cuerpo una aceleración de 5 ms-2, ¿qué trabajo se efectúa al desplazarlo esos 5 m?
Aplicando la segunda ley de Newton: F - Fr = ma y multiplicando por el desplazamiento:
donde F×s = W es el trabajo de la fuerza F y Fr×s = Wr es el trabajo de la fuerza de rozamiento, que como vimos era de 98 J.
4. La resultante de las fuerzas que se ejercen sobre un cuerpo que puede considerarse aplicadas en el centro de masas, viene dada por:
a) Demostrar que el trabajo realizado por dichas fuerzas al trasladar el centro de masas desde un punto A hasta otro punto B es independiente de la trayectoria seguida. b) Calcular dicho trabajo siendo A(0, 0, 0) y B(1, 1, 1). Las coordenadas se expresan en m.
a) Se puede demostrar que el trabajo realizado por la fuerza F es independiente de la trayectoria, demostrando que F es conservativa o, lo que es lo mismo, demostrando que existe una función escalar U tal que:
El símbolo 
significa derivada con respecto a una variable dejando constante las
otras.
Es decir:
de donde la función EP es igual a:
con lo cual demostramos que, al existir EP, F es conservativa.
b) El trabajo realizado entre el punto A(0, 0, 0) y el punto B (1, 1, 1) será igual a:
W = -EP(1, 1, 1) – EP(0, 0, 0) = – (2+1+2) – 0 = – 5 J.
5. Un alpinista (70 kg) puede trepar 500 m por hora en ascensión vertical. ¿Qué energía potencial gravitatoria gana este alpinista en una ascensión de 5 horas por una montaña?
La energía potencial gravitatoria adquirida en las cinco horas es:
DEP = mgh = 70×9,8×(5×500) = 1715×103 J.
6. Un cuerpo de 0,200 kg de masa es lanzado hacia arriba desde un punto que está a 20,0 m por encima de la superficie terrestre formando un ángulo de 60º con la horizontal y con una velocidad de 20,0 ms-1, a) ¿Cuál es su energia total? b) ¿Cuál es su energía total cuando se encuentra a 25,0 m sobre la superficie terrestre? e) ¿Cuál es su velocidad a esa altura?
a)
donde v = 20,0 ms-1 es el módulo del vector velocidad = (20,0 sen 60º, 20,0 cos 60º) y así la energía total vale:
b) La energía total se mantiene constante, luego en cualquier momento o posición: E = 79,2 J.
7. Un cuerpo se lanza sobre un plano horizontal con una velocidad inicial de 6 ms-1 sabiendo que el coeficiente de rozamiento vale 0,3, calcular el tiempo que tarda en detenerse, el espacio recorrido y la energía disipada.
La aceleración que lleva el cuerpo viene dada por:
que, al ser constante, nos dice que el movimiento es uniformemente variado. Luego de las ecuaciones:
La energía disipada viene medida por el trabajo realizado contra las fuerzas de rozamiento. Es decir:
Energía: – Fr×s = – mmg×s = – 0,3×m×9,8×6,12 = – 18,5 m J.
8. Un bloque de 2 kg situado a 5 m de altura y en reposo empieza a deslizar por una rampa lisa y a continuación recorre 6 m sobre una superficie horizontal rugosa hasta que se para. a) ¿Cuál es la velocidad del bloque al finalizar la rampa? b) ¿Qué trabajo realiza el rozamiento sobre el bloque? c) ¿Cuánto vale el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie horizontal?
a) La energía potencial se transforma totalmente en energía cinética al final de la rampa:
b) Toda la energía cinética se transforma en trabajo de rozamiento (Wr). Así:
c) El trabajo de rozamiento es Fr×6 = 98 J, donde Fr es la fuerza de rozamiento, luego:
y como Fr = mPN=2×9,8×m, obtenemos para el coeficiente de rozamiento:
9. Un bloque de 2 kg se lanza a lo largo de una superficie horizontal rugosa (m = 0,2) con una velocidad de 20 ms-1. Una vez ha recorrido el bloque 5 m por la superficie horizontal, encuentra una rampa inclinada 30º con respecto a la horizontal, que posee el mismo coeficiente de rozamiento. ¿Hasta qué altura sobre el plano inclinado llegará la masa?
La energía cinética en el momento del lanzamiento es:
y el trabajo de rozamiento en la superficie horizontal es:
La diferencia entre la energía cinética inicial y el trabajo de rozamiento será la energía que se utilice para subir a una altura h sobre el plano inclinado venciendo un rozamiento:
Por lo tanto:
10. En una
máquina de Atwood, la masa de 3 kg se encuentra 1 m por encima de la de 2
kg cuando el sistema se deja en libertad. Hallar la velocidad de cada masa
cuando las dos masas se encuentran a la misma altura.
Tomando como origen de energías potenciales la linea mitad de distancia entre ambas masas:
11. Una masa de 2 kg es lanzada desde la posición A con una velocidad de 10 ms-1 por la superficie sin rozamiento de la figura. Se pregunta: ¿a qué altura sobre la línea de puntos ascenderá la masa en la pendiente de la derecha en el instante de detenerse momentáneamente?
12. Un cuerpo de masa m y pequeñas dimensiones desliza sin rozamiento por el riel de la figura partiendo de A en reposo. Si OA =3R, hallar el módulo de la velocidad en B, en C y en D, si BD = 5R. En el caso de que existiera una fuerza de rozamiento constante, durante todo el trayecto, de valor F = mg sen q, ¿dónde se pararía el cuerpo?
EA = EB = EC = ED, donde:
En el caso de existir rozamiento:
luego:
Así:
El cuerpo se para en B.
13. Sobre los rieles de la figura puede deslizarse un pequeño vagón con rozamiento prácticamente nulo. Los carriles son horizontales al principio pero después se curvan y forman un lazo aproximadamente circular de radio 1,5 m, terminando como indica la figura. ¿Con qué velocidad mínima habrá que lanzar el vagoncillo en A para que llegue a C recorriendo el bucle en B, y con qué velocidad llegará a C?
Para que pueda recorrer el bucle en B se ha de verificar que la fuerza centripeta en ese punto coincida en valor con el peso del cuerpo.
sustituyendo:
Por último, de EA = EC :
14. Un cuerpo de masa 2 kg está sujeto por una cuerda en el centro de un plano inclinado 30º y describe una trayectoria circular sobre dicho plano, de radio 1 m. ¿Cuánta energía cinética pierde el cuerpo al pasar de A a B? Tomar como coeficiente de rozamiento m = 0,25
15. Por un plano inclinado 30º sobre la horizontal resbala hacia abajo un cuerpo con una velocidad inicial de 1,4 ms-1; el coeficiente de rozamiento vale . Calcular la longitud que este cuerpo recorre a lo largo del plano hasta que se para.
Si s es el espacio
que recorre hasta que toda la energía potencial y cinética que posee el
cuerpo se transforma en trabajo del rozamiento en el recorrido:
16. Una bala sale del cañón de un rifle a 300 ms-1, siendo su masa de 2 g. Si la fuerza resultante que actúa sobre la bala mientras está en el cañón es:
Calcular la longitud del cañón.
El trabajo de la fuerza F se convierte en energía cinética:
17. Sobre un plano inclinado se lanza hacia arriba un cuerpo con una velocidad de 80 ms-1, llegando cuando ha recorrido 500 m, con una velocidad de 10 ms-1. Si la inclinación del plano es de 30º, calcular el coeficiente de rozamiento.
El principio de conservación de la energia mecánica aplicado a este caso permite obtener:
18. Una masa de 2 kg se deja deslizar por un plano inclinado 30º. Cuando ha recorrido 4 m sobre el plano choca con un muelle sin masa, de constante k = 100 Nm-1. Si el coeficiente de rozamiento entre la masa y el plano inclinado fuera 0,2, hallar: a) La compresión máxima del muelle. b) ¿Hasta qué punto subirá la masa de nuevo por el plano después de abandonar el muelle?
En el punto B, toda la energía es energía potencial elástica:
El trabajo de rozamiento entre A y B es:
Aplicando el
principio de conservación de la energía: 
Esta ecuación resuelta da: x = 0,78 m.
La energía elástica en el punto B es:
La energía en el punto C (ver figura) es igual a:
y el trabajo de rozamiento en el recorrido BC:
luego:
de donde: s = 1,5 m.
19. Una regla de longitud 1 m se mantiene verticalmente con su extremo en el suelo. Encontrar la velocidad del otro extremo cuando choca con el suelo. (El extremo que está sobre el suelo no resbala.)
De: – DEP
= DEC,
donde, en este caso:
DEP = mg×0,5
ya que el centro de masas de la barra está en su punto medio, tendremos:
es decir:
y la velocidad del extremo de la barra:
20. Una moneda que tiene de radio 5 cm y de masa 5 g rueda por un plano inclinado siendo su velocidad angular en un instante 4 rps. Calcular en dicho instante: a) Su energía cinética de traslación. b) Su energia cinética de rotación. c) La energía cinética total.
a) La energía cinética de traslación es:
21. Una esfera que rueda sin deslizar, sube por un plano inclinado 30º sobre la horizontal. El centro de masas de la esfera tiene una velocidad en la base del plano de 5 ms-1. ¿Qué distancia recorre sobre el plano?
La energia cinética total del sistema (suma de las de traslación y rotación) se debe transformar en energia potencial
y como el momento de inercia de una esfera con respecto a un eje que pasa por su centro es:
22. Un vagón de ferrocarril de 20 Tm está en reposo en una colina cuando se le rompen los frenos, descendiendo hasta la parte inferior de la colina situada 20 m por debajo de la posición original. En este instante choca contra otro vagón de 10 Tm que se encuentra en reposo (sin frenos), acoplándose ambos vagones y ascendiendo por otra colina hasta una altura h. Hallar esa altura h.
La energía
potencial del vagón de 20 Tm a la altura de 20 m es:
que se debe transformar en energía cinética:
Cuando choca con el bloque de 10 Tm debe conservarse la cantidad de movimiento:
La energía cinética de los dos bloques se transforma a continuación en energía potencial:
23. Una masa de 5,0 kg que se desliza sobre una superficie horizontal sin rozamiento a la velocidad de 2,0 ms-1, choca con un muelle de constante elástica k = 500 Nm-1. a) ¿Se trata de choque perfectamente elástico? ¿Cuál es la razón? b) ¿Cuánto vale la energía cinética de la masa antes del choque? c) ¿Cuánto se comprimirá el muelle? d) ¿Cuánto vale la energía cinética de la masa después del choque?
a) Se trata de un choque perfectamente elástico, puesto que la fuerza elástica, que depende sólo del alargamiento o contracción del muelle, es conservativa, verificándose que: – DEP = DEC , por lo tanto la energia cinética antes del choque coincide con la energía cinética después del choque.
b) La energia cinética antes del choque es:
c) De la expresión: – DEP = DEC, como la energía potencial elástica es:
d) La energia cinética después del choque según a) es 10 J.
24. Un cuerpo de masa m1 y energía cinética EC1 choca frontalmente con otro objeto de masa m2 que se encuentra en reposo. Si el choque es perfectamente elástico, calcular la energía EC2', del segundo cuerpo si:
-
m2 = 0,01 m1
-
m2 = m1
-
m2 = 100 m1.
Del principio de conservación de la cantidad de movimiento:
sistema de ecuaciones que se puede sustituir por:
de donde obtenemos:
en el caso de que una de las partículas está en reposo (v2 = 0):
de la segunda de estas ecuaciones obtenemos:
a) Si m2 = 0,01 m1
b) Si m2 = m1
c) Si m2 = 100 m1 ,
25. Una masa de 2 kg se mueve con una velocidad de 5 ms-1 y realiza un choque frontal perfectamente elástico con otra masa de 0,5 kg inicialmente en reposo. Hallar la velocidad de cada una de las masas después del choque.
De la conservación de la cantidad de movimiento y de la energía tenemos:
que nos da: v’1 = 3 ms-1 y v’2 = 8 ms-1.
26. Una masa de 2 kg que se mueve con una velocidad de 3 ms-1 realiza un choque frontal perfectamente elástico con otra masa de 3 kg que se mueve en la misma dirección y sentido contrario con una velocidad de 2 ms-1. Hallar las velocidades de cada masa después del choque.
Como la cantidad de movimiento y la energia se conservan:
que resuelto nos
da: v’1 = – 3 ms-1
y v’2 = 2 ms-1
27. Dos particulas de masas 2 y 3 kg se mueven hacia la derecha de modo que la de 2 kg alcanza a la de 3 kg. Las velocidades respectivas son 3 ms-1 y 2 ms-1. Si realizan un choque perfectamente elástico: a) Hallar la velocidad del centro de masas. b) La de cada una de las partículas después del choque. c) Las energías cinéticas inicial y final en el sistema de referencia-L y comprobar que se conserva la energía cinética total. d) La energía cinética total en el sistema de referencia-C y comprobar que es menor que en c) en 1/2(m1+ m1) vCM2.
a) La velocidad del centro de masas es:
b) Como la cantidad de movimiento y la energía cinética se conservan:
que resuelto nos da: v’1 = 1,8 ms-1 y v’2 = 2,8 ms-1.
c) Si llamamos ECL y ' a las energías cinéticas en el sistema-L, antes y después del choque:
d) La velocidad de cada masa con respecto al centro de masas es:
La energia cinética con respecto al centro de masas es:
y:
de donde:
y la energia cinética del centro de masas:
La suma de ambas energías, la energía cinética con respecto al centro de masas y la energía cinética del centro de masas es:
que es la energía cinética en el sistema de referencia del laboratorio.
28. Una bala de 10 g de masa se incrusta en un péndulo balístico de 2 kg de masa. Si el péndulo balístico se eleva a una distancia vertical de 12 cm, ¿cuál es la velocidad de la bala?
De la conservación de la cantidad de movimiento y de la conservación de la energía después del choque:
29. Un bloque de madera de 1 kg de masa está sujeto a un muelle de constante k = 200 Nm-1 y el sistema descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Se dispara horizontalmente un proyectil de 10 g de masa y se mide la compresión en el muelle, que resulta ser de 10 cm. Hallar la velocidad inicial del proyectil antes del choque y la fracción de energia mecánica que se pierde en el choque.
La energia potencial elástica es:
De la conservación de la cantidad de movimiento en el choque:
Las energías cinéticas valen:
donde la variación de energia cinética es: DEC = EC’ – EC = – 100 J, que corresponde a una pérdida del 99%.
30. De un péndulo simple de 2 m de longitud pende una bola de 400 g. Se golpea horizontalmente con otra bola de igual masa que lleva una velocidad de 12 ms-1. Calcúlese la altura máxima que adquiere la bola del péndulo simple si el choque es elástico. Comentar qué ocurriría si la masa de la bola fuera doble que la del péndulo.
De la conservación de la cantidad de movimiento y la energía tenemos:
y :
Aplicando al péndulo el principio de la conservación de la energía
lo que nos daría h =7,3 m.
Como el péndulo tiene una longitud de 2 m, la máxima altura que podria alcanzar es del doble de esta longitud, lo que es igual a 4 m. Si la masa de la bola fuera el doble tendríamos:
Aplicando de nuevo al péndulo el principio de conservación de la energia tendriamos:
lo que daria h =13 m.
Como el péndulo tiene una longitud de 2 m, la máxima altura que podría alcanzar no debería sobrepasar los 4 m.
CUESTIONES
C.1. Un aro puede caer rodando por un plano inclinado o resbalando a lo largo de un plano sin rozamiento. Se pregunta: a) ¿En qué caso llega antes a la base? b) ¿En qué caso adquiere más energía cinética de traslación? c) ¿En qué caso adquiere más energía total?
Cuando un aro cae rodando, su energía potencial en el punto más alto del plano inclinado se ha de transformar en energía cinética de translación y en energía cinética de rotación, mientras que en el caso de resbalar sin rozamiento sólo necesita transformarse en energía cinética de translación. Por lo tanto, llegará antes a la base cuando cae deslizando. Del mismo modo adquirirá mas energía cinética de translación. En ambos casos la energía total es siempre la misma.
C.2. Una masa m1 que se mueve rápidamente golpea frontalmente a otra masa m2 que está en reposo. ¿Puede ocurrir que m1 retroceda lentamente y m2 salga con una velocidad muy grande en sentido contrario?
No, podría retroceder m1 lentamente si m2 fuera mayor que m1, pero entonces m2 se movería lentamente en sentido de la masa m1.
Lo dicho es consecuencia de que al ser v2 = 0:
