Dinámica de sistemas y del sólido rígido
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SUMARIO. REPASO: Dinámica de sistemas y del sólido rígido.
Para un sistema de partículas la segunda ley de Newton es:
siendo 
la suma de las fuerzas exteriores y 
la suma de las cantidades de movimiento de cada partícula.
Centro de masas:
Relación entre el sistema de referencia C (con origen en el centro de masas) y el sistema de referencia L (sistema ligado al laboratorio):
Propiedades del centro de masas:
Conservación de la cantidad de movimiento:
Cuando sobre un sistema de partículas no actúan furzas exteriores, la cantidad de movimiento permanece constante.
Momento angular o cinético:
Movimiento producido por fuerzas centrales:
1) La partícula sometida a fuerzas centrales se mueve constantemente en un plano.
2) El sentido de giro de la partícula es constante, al serlo el de L.
3) Las áreas barridas por los radios vectores en tiempos iguales son iguales.
Para un sólido rígido:
PROBLEMAS
1. Dos masas de 2 y 11 kg, respectivamente, se encuentran sobre el eje OX en los puntos x1 = 5 m y x2 = 11 m. Hallar su centro de masas. Si la primera masa se mueve hacia la derecha con la velocidad de 4 ms-1 y la segunda hacia la izquierda con la de 1 ms-1 ¿cuál es la velocidad del centro de masas? ¿Y la cantidad de movimiento del sistema?
2. El centro de masas del sistema formado por la Tierra y la Luna está a 379440 km del centro de la Luna. Sabiendo que la distancia entre los centros de estos dos cuerpos es de 384000 km, calcular la relación entre sus masas.
En el sistema de referencia del centro de masas (sistema-C) se cumple:
En módulo y tomando como sentido positivo:
3. Ciertos experimentos de difracción de electrones demuestran que la distancia entre los centros de los átomos de carbono C y de oxígeno O en la molécula gaseosa de monóxido de carbono es de 1,130 10-10 m. Localizar el centro de masa de una molécula de CO respecto del átomo de C.
Tomando como punto de referencia el centro del átomo de carbono, la posición del centro de masas de la molécula viene dada por:
4. Dos masas iguales a 15 kg se mueven con velocidades respectivas:
Calcular la velocidad de su centro de masas y la cantidad de movimiento del sistema.
La velocidad del centro de masas del sistema será:
y su cantidad de movimiento:
5. De una máquina
de Atwood cuelgan dos masas de 2 kg y 3 kg unidas por una cuerda de masa
despreciable y colocada en la polea, también sin rozamiento y de masa
despreciable. Si consideramos el sistema formado por el bloque y la polea
como único sistema, demostrar que se cumple la relación: 
.
La aceleración de
cada una de las masas es:
y la del centro de masas del sistema:
El signo "menos" indica que la masa mayor se mueve hacia abajo (sentido negativo del eje Z).
Por otra parte:
y considerando el movimiento de una de las masas, por ejemplo la m1, es:
de donde:
y T’:
6. Un disco uniforme de radio 0,10 m y 2 kg de masa, puede girar alrededor de un eje fijo. En torno al disco se enrolla una cuerda de la que se tira con una fuerza de 10 N. Calcular: a) El momento de las fuerzas actuantes sobre el disco. b) Su aceleración angular. c) Si el disco parte del reposo, ¿cuál es su velocidad angular al cabo de 2 s? d) ¿Qué ángulo ha girado en esos 2 s?
Calculamos en primer lugar el momento de inercia:
c) w = at, ya que el disco parte del reposo, luego:
7. Una piedra de pulimentar en forma de disco de masa 1,5 kg y radio 8 cm, gira a 600 r.p.m. Se desconecta el motor que le hace girar, manteniendo un hacha sobre su superficie durante 10 s, hasta que se detiene. a) ¿Cuál es la aceleración angular de la piedra de pulimentar? b) ¿Cuál es el momento ejercido por el hacha sobre la piedra?
En primer lugar pasamos las 600 r.p.m. a rad×s-1:
a) Como la piedra se detiene:
b) Para calcular el momento ejercido por el hacha hemos de calcular antes el valor del momento de inercia.
y como M = Ia, tendremos:
8. En la llanta de una rueda de 40 cm de radio está enrollada una cuerda sobre la que se ejerce una fuerza de 40 N. La rueda gira alrededor de su eje que se mentiene fijo, siendo su momento de inercia 0,1 kg×m2. Calcular: a) La aceleración de la rueda. b) Si en lugar de ejercer una fuerza de 40 N colgamos un peso de 40 N, ¿cuánto vale la aceleración angular?, ¿por qué no es la misma que en el caso anterior?
a) Como
En el segundo caso, al existir una tensión obtendremos el siguiente sistema:
con lo que:
9. Una rueda que puede girar alrededor de un eje de 10 cm de radio, gira bajo la acción de una cuerda sujeta al eje de la que pende un cuerpo de 10 kg. El cuerpo cae verticalmente, recorriendo 2 m en 6 s. ¿Cuál es el momento de inercia de la rueda con respecto a su eje?
Como el movimiento es uniformemente acelerado y parte del reposo:
y como:
De F×R = I×a Þ T×0,10 = I×1,1; y de mg - T = ma;
y sustituyendo en la ecuación anterior:
10. Calcular la aceleración angular de la polea de una máquina de Atwood de 4 cm de radio y momento de inercia 0,1 kg·m2, de la que cuelgan dos masas de 100 y 105 gramos respectivamente.
Tendremos:
Despejamos T1 y T2:
y sustituyendo estos valores en la ecuación (1) queda:
11. Las dos poleas de la figura tienen un momento de inercia conjunto de 0,6 kg×m2 y radios 8 y 4 cm. De ellas cuelgan dos bloques de masas 40 y 60 kg respectivamente. Calcular la aceleración angular del sistema y las tensiones en las cuerdas.
Despejamos en las dos primeras los valores de T1 y T2:
Sustituyendo estos valores en la tercera:
y sustituyendo en T1 y T2:
12. Calcular la aceleración de los sistemas de las figuras, si el radio de la polea es de 15 cm y las masas son m1 = 60 kg y m2 = 150 kg, respectivamente. Los bloques no experimentan rozamiento y el momento de inercia de la polea es de 0,1 kg·m2.
En la primera
figura:
y sustituyendo los valores de T1 y T2 :
En la segunda
figura:
y sustituyendo por los valores conocidos tendremos:
13. El cilindro de la figura puede girar bajo la acción de una fuerza F de 1 N, siendo el radio de su eje r de 2 cm y el del cilindro R de 6 cm. La masa del disco es de 2 kg. Calcular la aceleración y el sentido del movimiento.
De la figura F - f = ma, donde f es la fuerza de rozamiento. Por otro lado:
luego:
Sustituyendo este valor de f en la primera fórmula:
14. En el sistema
representado en la figura, M es la masa del cilindro igual a 2 kg y m =
0,3 kg. El radio del cilindro r = 0,2 m. Calcular la aceleración del
cilindro y la tensión de la cuerda (no se tiene en cuenta el movimiento
de la polea).
mg- T= ma
T - f = Ma
f·r = l·a.
Despejando f en la tercera ecuación:
El sistema de ecuaciones queda reducido al siguiente:
15. Una rueda de bicicleta de eje y radios de masa despreciable, tiene una llanta delgada de radio 0,40 m y 3 kg de masa y puede girar alrededor de un eje sin rozamiento. Un hombre sobre una plataforma giratoria (de pie, y también de rozamiento despreciable), sostiene la rueda sobre su cabeza con el eje vertical. La rueda gira en sentido contrario a las agujas del reloj (vista desde arriba) a razón de 50 rad/s, y la plataforma está en reposo. El momento de inercia conjunto de hombre, rueda y plataforma con respecto a su eje común es de 2 kg×m2. Si el hombre detiene la rotación de la rueda (con relación a la plataforma), ¿cuál es la velocidad angular resultante?
I = Mr2 =3×0,402 = 0,48 kg×m2
Por otro lado: Iw = cte
0,48×50 = 2w Þ w = 12 rad/s
según el eje vertical y gira en sentido contrario a las agujas del reloj.
16. Un cuerpo gira sin rozamiento en torno a su eje fijo vertical con una velocidad angular de 2000 r.p.m. El momento de inercia del cuerpo respecto al eje de giro es 5×10-4 kg×m2. En estas condiciones se adhiere en un punto de la superficie que dista 0,1 m del eje, una pequeña partícula de 10 g que inicialmente estaba en reposo. ¿Cuánto vale la velocidad de rotación final del conjunto cuerpo-particula?
El momento cinético permanece constante durante todo el proceso, ya que no actúan momentos exteriores. Luego:
es decir:
17. Dos niños de 30 kg de masa cada uno están sentados en los extremos de una barra horizontal de 2 m de larga y 8 kg de masa. La barra gira a razón de 4 r.p.m. con respecto a un eje perpendicular a la barra que pasa por su centro. ¿Cuál es la velocidad angular si cada niño se mueve 50 cm hacia el centro de la barra sin tocar el piso?
Momento de inercia de la barra:
Si los niños se mueven hacia el centro:
18. Hallar el momento de inercia: a) De un aro delgado vertical de medio kilo de masa y 10 cm de diámetro con respecto a un eje horizontal tangente al aro. b) De una esfera de medio kilo de masa y 10 cm de diámetro con respecto a un eje horizontal tangente a la esfera.
a) El momento de
inercia con respecto del centro del aro es:
Aplicando el teorema de Steiner:
b) El momento de inercia con respecto al centro de la esfera es:
Aplicando el teorema de Steiner:
19. Hallar el
momento de inercia de una varilla uniforme de 1 m de longitud y 0,30 kg de
masa, con respecto a un eje paralelo a su base que pase: a) por su centro;
b) por uno de sus extremos; c) por un punto a 30 cm de su centro.
a) El momento de inercia con respecto a un eje que pase por el centro es:
b) Aplicando el teorema de Steiner:
c) Aplicando el teorema de Steiner:
20. Los dos bloques A y B se aproximan comprimiendo el resorte que hay entre ellos. Se deja de actuar sobre el resorte y los bloques empiezan a moverse en sentidos contrarios sobre la superficie horizontal que supondremos perfectamente pulida. Una vez distendido el resorte cae a la superficie al no estar sujeto a los bloques. Si las masas de estos últimos son respectivamente mA = 3 kg y mB =10 kg, calcular la velocidad que adquiere el bloque A si la del B es 4 ms-1.
Como no hay fuerzas exteriores, la cantidad de movimiento se conserva. Es decir:
21. Un cuerpo inicialmente en reposo explota y se divide en tres fragmentos iguales; uno vuela hacia el Oeste a 80 ms-1 y otro hacia el Sur a 60 ms-1. ¿Cuál es la velocidad y la dirección del tercero?
Como en el sistema no existen fuerzas exteriores, la cantidad de movimiento permanece constante. Es decir:
En módulos:
siendo la
dirección de 
: 
El tercer fragmento vuela hacia el NE formando un ángulo de 36º 52' 11" con el eje W-E.
22. Al dinamitar una roca, ésta sale despedida en tres fragmentos. Dos de ellos de 10 kg y 20 kg salen en ángulo recto con velocidades respectivas de 15 ms-1 y 10 ms-1. El tercer fragmento es despedido con velocidad de 50 ms-1. Indiquese la dirección de este tercer fragmento y calcular su masa.
Como en este sistema se conserva la cantidad de movimiento, se ha de verificar que:
Por otra parte, según se observa en la figura:
y sustituyendo su valor en la primera de las dos ecuaciones anteriores:
El tercer fragmento tiene una masa de 13,9 kg y sale formando un ángulo de 127º con el eje X tomando el sentido contrario al de giro de las agujas del reloj.
23. Un átomo de uranio se desintegra en dos partes de 2,5×10-25 kg y 1,5×10-25 kg. Menospreciando otras partículas de masa despreciable, hallar en qué relación deben estar las velocidades de ambos fragmentos.
En el proceso de desintegración no existen acciones exteriores, luego el átomo constituye un sistema aislado en donde se conserva la cantidad de movimiento. Según esto, se cumplirá:
de donde:
24. Se lanza un proyectil con un ángulo de elevación de 60º y la velocidad inicial de 500 ms-1. En el punto más alto hace explosión dividiéndose en dos fragmentos de igual masa, uno de los cuales cae verticalmente. ¿A qué distancia del punto de lanzamiento golpeará el otro fragmento al suelo si éste es horizontal?
Como no cambian las fuerzas exteriores al sistema, el movimiento del centro de masas se conserva, y cuando los trozos lleguen al suelo, dicho centro de masas se encontrará en el punto de abscisa xCM dado por la expresión:
Como los dos trozos tienen la misma masa, caerán en puntos equidistantes del punto de abscisa xCM. Es decir, en los puntos dados por:
25. Un proyectil de 10 g de masa se mueve horizontalmente con una velocidad de 400 ms-1 y se empotra en un bloque de 300 g de masa que está en reposo sobre una superficie pulida. ¿Qué velocidad adquiere el conjunto bloque-proyectil?
Al no existir fuerzas exteriores, la cantidad de movimiento del sistema se conserva, y como el choque es inelástico continúan juntas ambas masas. Se verifica que:
26. Un barco de 10 toneladas se mueve con una velocidad constante de módulo 0,5 ms. Empieza a llover y al cabo de cierto tiempo la cubierta ha recogido 1000 kg de agua. Suponiendo que las gotas de lluvia caen verticalmente, ¿qué velocidad adquiere el barco.
Como no existen fuerzas exteriores en la dirección del movimiento, la cantidad de movimiento permanece constante. Es decir, si M es la masa del barco, M’ la de las gotas de agua y v y v’ la velocidad del barco antes y después de haber llovido, se cumplirá:
27. Un hombre de 70 kg de masa está montado en un vagón de 50 kg que se mueve sobre un suelo horizontal a una velocidad de 3 ms-1. Salta fuera del vagón con una velocidad en relación al suelo de 1 ms-1 en sentido opuesto al movimiento del vagón. a) ¿Cuál es la velocidad del centro de masas antes y después del salto del hombre? b) ¿Cuál es la velocidad del vagón después?
a) La velocidad del centro de masas antes del salto del hombre es la del vagón y después del salto sigue siendo la misma, pues no han actuado fuerzas exteriores al sistema. b) Para hallar la velocidad del vagón después del salto apliquemos el teorema de conservación de la cantidad de movimiento:
de donde:
CUESTIONES
C1. Demostrar que el centro de masas de un sistema de dos particulas materiales está más cerca de la partícula de mayor masa.
Tomando como referencia el centro de masas del sistema -sistema C-, la coordenada del CM es cero, luego:
y tomando como positivo el sentido de :
Según esta igualdad, si m1>m2 Þ r1 < r2.
C2. ¿Cuál es el momento angular del sistema Tierra-Luna con respecto al centro de la Tierra?
Datos:
MT = 5,98×1024 kg RT = 6,18×106 m mL = 7,14×1022 kg RL = 1,738×106 m dLT = 3,84×108 m.
Si O es el centro de la Tierra:
refiriéndose los
subíndices T y L a la Tierra y a la Luna,
respectivamente.
Según el teorema de Steiner:
luego:
ya que la Luna emplea alrededor de 28 días en dar una vuelta completa.
C3. Consideremos
las dos barras de la figura de longitud un metro, y que pueden girar
alrededor de un eje perndicular a la barra que pasa por O y O’
respectivamente. Apliquemos una fuerza F en el otro extremo, ¿girarían
las barras con la misma aceleración angular? ¿Por qué?
M es igual en ambos casos, pero IO > I'O por estar la mayor masa, la del acero, más alejada del eje de giro. Por lo tanto, como:
C4. Podemos distinguir entre un huevo crudo y uno cocido haciéndolos girar, ¿de qué manera?, ¿por qué?
El momento de inercia con respecto al eje de giro es mayor en el huevo crudo por distribuirse durante el giro la mayor parte de la masa en las proximidades de la cáscara. Por lo tanto:
Icrudo > Icocido
El teorema de conservación del momento cinético afirma:
Icrudo× wcrudo = Icocido× wcocido
luego:
wcrudo < wcocido
El huevo cocido girará con mayor velocidad angular.
C5. Se dice que un gato cae siempre "de patas". Si un gato inicia un movimiento de caída con sus patas hacia arriba, ¿qué debe hacer para caer sobre sus patas?, ¿por qué?
Con la ayuda de movimientos de patas y cola puede modificar el momento de inercia con respecto a un eje que pase por su cuerpo. Como el momento cinético se conserva en un sistema aislado, el gato modifica su velocidad angular de manera adecuada, y así gira cayendo de "patas".
C6. ¿Qué ocurrirá en un "tiovivo" si todos los que viajan en él se acercan simultáneamente al eje del mismo?
Como es un sistema aislado Iw = cte, al acercanos al eje de giro, el momento de inercia disminuye y, por lo tanto, debe aumentar la velocidad angular.
El "tiovivo" tiene tendencia a girar con mayor rapidez.
C7. ¿Puede ser una causa posible de la disminución anual del tiempo de rotación de la Tierra, la fusión de los casquetes polares? ¿Por qué?
El hielo al fundirse se contrae, por lo que la distancia de su centro de masas al eje de la Tierra se hace menor. En consecuencia, el momento de inercia disminuye, aumenta la velocidad angular y disminuye el tiempo de rotación.
C8. Un pez de masa M que nada a una velocidad V se come a un pez más pequeño de masa m que está en reposo. ¿Cuál es la velocidad del pez grande un instante después de haberse comido al pez pequeño? ¿Cuál sería la velocidad si el pez pequeño estuviese nadando hacia él con velocidad v?
De M·V + m·0 = (M+m)·v' Þ
De M·V - m·v = (M+m)·v'' Þ