Apéndice 1: Vectores
ZONA RESERVADA A PROFESORES QUE UTILIZAN NUESTRO LIBRO FÍSICA 2º BACHILLERATO DE EDICIONES AKALEnviar un e-mail a: joseluis@lowy-robles.com o a: educacion@akal.com
| ÍNDICE | |||||||
| PROBLEMAS | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| CUESTIONES | C.1 | C.2 | C.3 | C.4 | C.5 | C.7 |
SUMARIO. APÉNDICE. VECTORES
Componentes de un vector:
Producto de vectores:
A) Producto escalar de dos vectores:
B) Producto vectorial de dos vectores:
Derivada de un vector:
Integración vectorial:
PROBLEMAS
1. Dados los vectores:
hallar los
módulos de: a) 
, b) 
, c)
.
a) 
b)
c)
2. Hallar un vector de origen P(x1, y1, z1) y extremo Q(x2, y2, z2), determinando luego su módulo.
3. Determinar los ángulos a, b y g que el vector forma con los sentidos positivos de los ejes de coordenadas, y demostrar que: cos2a+ cos2b+ cos2g = 1.
Si multiplicamos escalarmente el vector por el vector unitario tendremos:
Luego:
y de igual forma:
Si elevamos al cuadrado las tres expresiones cos a, cos b y cos g y sumamos, tenemos:
4. Probar por dos
métodos diferentes que los vectores 
y 
son paralelos.
como 
y 
, los vectores a y b
son paralelos, ya que sen j = 0.
Por otra parte, si calculamos su producto escalar:
o bien 
, e
igualando:
5. Encontrar el
vector unitario (versor), perpendicular a los vectores
.
Un vector perpendicular a esos dos vectores es su propio producto vectorial .
y será unitario si dividimos por su módulo:
El vector unitario (versor), perpendicular a esos dos vectores es:
6. Demostrar que
los vectores 
son perpendiculares.
Serán perpendiculares si su producto escalar es cero:
7. Hallar el
ángulo formado por los vectores 
8. Encontrar la
proyección de 
sobre 
.
9. Hallar
los ángulos que forma el vector 
con los ejes de coordenadas.
luego:
10. Siendo 
y a y b
no nulos, demostrar que 
es paralelo a 
.
Los dos vectores son paralelos al formar un ángulo nulo.
11. Si
a)
A continuación podemos calcular:
b) De la misma forma:
y
12. Determinar el
vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores 
.
De igual forma que en el problema 5),
y el vector unitario perpendicular al piano que contiene a los dos vectores es:
13. Siendo
c) Sus módulos
14. Una partícula
se mueve a lo largo de la curva x = 2 t2,
y = t2 – 4t, z = 2t - 5, siendo t el
tiempo. Hallar la velocidad y la aceleración en el instante t = 1 y en la
dirección: 
El vector de posición de la particula es:
la velocidad es:
La aceleración es:
15. Una particula
se mueve de forma que su vector de posición viene dado por 
, siendo
w
una constante. Demostrar que la velocidad de la particula es perpendicular
a 
y la aceleración está dirigida hacia el origen, siendo su módulo
proporcional a su distancia al mismo. Demostrar también que: 
La velocidad de la partícula es:
Los dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es cero y:
que tiene la misma dirección pero sentido contrario, es decir, dirigida hacia el origen y su módulo es proporcional a r, pues:
es decir, el módulo de la aceleración es proporcional a su distancia al origen.
Por último:
CUESTIONES
C.1. ¿Es posible que la suma de dos vectores de módulos 2 y 3 sea otro vector de módulo 2?
El caso más favorable es cuando los dos vectores tienen la misma dirección y el mismo sentido, en cuyo caso el módulo de la suma es 5, y el más desfavorable cuando teniendo la misma dirección tienen sentido contrario, en cuyo caso el módulo de la suma es 1.
Como el caso indicado, de módulo 2, está comprendido entre ambos, sí es posible.
C.2. ¿Es posible que la suma de dos vectores de módulos 2 y 3 sea otro vector de módulo 6?
No; pues como hemos indicado en la cuestión anterior, el valor máximo del módulo de la suma es 5.
C.3. Un vector tiene por componentes (1, 2, 3); cítese otro vector que sea perpendicular a éste.
Será perpendicular al vector (1, 2, 3) cualquier vector de módulo distinto de cero cuyo producto escalar por el anterior sea cero. Por ejemplo el vector (1,2,-5/3), ya que:
1×1 + 2×2 + 3×(-5/3) = 1 + 4 - 5 = 0
C.4. ¿Cuánto
valen el producto escalar y el vectorial de dos vectores a y b, situados
respectivamente, sobre los ejes X e Y?
El producto escalar será: ab cos 90 = 0, y el vectorial tendrá por módulo:
y por dirección la perpendicular al plano XY y sentido Z, luego valdrá:
C.5. Coméntese la frase: «El producto de dos vectores de módulos 5 y 8 puede valer 20».
Por lo pronto al ser el resultado un número, se trata de un producto escalar. Para que: 5×8× cos a = 20, tiene que ser cos a = 1/2, luego el ángulo formado por los dos vectores ha de ser de 60º.
C.6. Dos vectores se representan con un origen común y se traza el paralelogramo correspondiente; ¿qué significado tienen las dos diagonales de ese paralelogramo?
La diagonal mayor
representa la suma de los dos vectores, mientras que la diagonal menor es
la diferencia de los dos vectores: 
, según que el sentido sea el indicado
en la figura o el sentido contrario.
C.7. ¿Qué diferencia hay entre las potencias escalares y vectoriales de un vector?
